ORDEN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL
El orden de una ecuación diferencial está dado por el orden mayor de su derivada.
Ejemplo
1.3) GRADO DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL
El grado de una ecuación diferencial está dado por el exponente del mayor orden de su derivada.
Ejemplos
Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias.
Solución de una ecuación diferencial
Una función que cuando se remplaza en la ecuación diferencial da una igualdad, se llama una solución de la ecuación diferencial, por lo tanto, resolver una ecuación diferencial es encontrar una función desconocida que al ser sustituida en la ecuación diferencial se obtiene una igualdad.
2.1) FUNCIÓN PRIMITIVA DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL
Es una expresión equivalente a la ecuación diferencial que carece de derivadas.
Ejemplo:
Resolver la ecuación diferencial
La expresión es una "función primitiva" de la ecuación diferencial.
Verificación
Observación: Al derivar la función primitiva se reproduce exactamente la ecuación diferencial.
2.2) PROBLEMA DE VALOR INICIAL
Un problema de valor inicial es un problema que busca determinar una solución a una ecuación diferencia sujeta a condiciones sobre la función desconocida y sus derivadas especificadas en un valor de la variable independiente. Tales condiciones se llaman condiciones iniciales.
Un problema de valor de frontera es un problema que busca determinar una solución a una ecuación diferencia sujeta a condiciones sobre la función desconocida especificadas en dos o más valores de la variable independiente. Tales condiciones se llaman condiciones de frontera.
Ejemplo ilustrativo
Una curva tiene la propiedad de que su pendiente en cualquier punto (x,y) de ella es igual a 2x. Hallar la ecuación de la curva si ésta pasa por el punto (2,5)
Solución:
2.3) DESCRIPCIÓN DE UNA FAMILIA DE CURVAS
Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden
3.1) ECUACIONES CON VARIABLES SEPARABLES
Encuentre la solución general de la ecuación diferencial.
Resolución.
Soluciones Particulares
Graficando en Graph
Comprobación
3.2) ECUACIONES HOMOGÉNEAS
Es homogénea si no contiene términos que dependen únicamente de su variable independiente, en caso contrario es No Homogénea.
Ejemplos:
Ejemplo ilustrativo
Resolver la ecuación:
Resolución:
En una ecuación diferencial homogénea se realiza el cambio
Integrando
Graficando para un valor arbitrario C = 1
3.3) ECUACIONES EXACTAS
Resolver la ecuación
Resolución
Para que la ecuación diferencial sea exacta debe cumplir la condición
Como cumple la condición se trata de una ecuación diferencial exacta
Se Iguala las dos derivadas con respecto a y.
Graficando la solución de la ecuación diferencial para C = 1
3.4) ECUACIONES CON FACTORES INTEGRANTES
Una vez obtenida la nueva expresión se puede resolver la ecuación mediante los procedimientos para ecuaciones diferenciales exactas
Para obtener los factores de integración se pueden emplear las siguientes reglas:
Ejemplo ilustrativo: Resolver la siguiente ecuación diferencial
Solución
Se debe verificar si la ecuación diferencial es exacta. Las funciones definidas para las ecuaciones diferenciales exactas son:
Debido a que las 2 derivadas parciales no son iguales, la ecuación diferencial no es exacta.
Como la diferencias entre las 2 derivadas cruzadas dividida para N es una función de "x" se aplica:
Multiplicando la ecuación diferencial por el factor de integración "x" se tiene una ecuación diferencial equivalente
Debido a que las 2 derivadas parciales son iguales, la nueva ecuación diferencial es exacta.
Como la nueva ecuación diferencial es exacta se procede a resolverla como en casos anteriores. Esta solución queda como tarea para el lector.
3.5) ECUACIONES LINEALES
Resolver las siguientes ecuaciones lineales
Solución
Es una ecuación lineal en "y"
Como la solución es
Graficando para un valor arbitrario de C = 1
Es una ecuación lineal en "x"
Como la solución es
Propiedad conmutativa en los exponentes
Graficando para un valor arbitrario de C = 1
Ecuaciones diferenciales de segundo orden
Una ecuación diferencial de segundo orden es de la forma
4.1) LA SOLUCIÓN GENERAL COMO COMBINACIÓN LINEAL DE SOLUCIONES LINEALMENTE INDEPENDIENTES
Definición de independencia lineal
Ejemplos:
Proceso de solución
Ejemplo ilustrativo
Resolver la ecuación diferencial
Solución:
Que son las soluciones particulares de la ecuación diferencial
Además, como estas dos soluciones son linealmente independientes la solución general es
Para comprobar la respuesta, se deriva la función, para lo cual en GeoGebra
a) Al escribir Derivada en Entrada se despliega algunas opciones.
b) Se escoge la opción Derivada[(Función)]
c) Escribir f(x)
d) Enter. Clic en la círculo de g(x) para que se borre la gráfica de g(x).
Para calcular la segunda derivada de f(x), se deriva g(x) y se obtiene
Como se quería comprobar
4.2) ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES
Una ecuación diferencial homogénea de segundo orden con coeficientes constantes es de la forma:
Como se observa la ecuación auxiliar es una ecuación cuadrática cuyas raíces se las puede determinar empleando la fórmula general
Por tanto es necesario recordar la solución de una ecuación cuadrática donde se pueden presentar tres casos.
1) Primer caso: raíces reales y diferentes
Ejemplo 1
Resolver la ecuación diferencial
Solución:
Ejemplo 2
Resolver la ecuación
Solución
Además, como estas dos soluciones son linealmente independientes, la solución general es
Resolviendo el sistema
Remplazando los valores encontrados en la solución general, se obtiene la solución particular
Graficando la solución particular se tiene
2) Segundo Caso: Soluciones reales e iguales
Ejemplo:
Resolver la ecuación diferencial
Solución:
3) Tercer caso: raíces complejas
Ejemplo:
Resolver la ecuación diferencial
Solución:
4.3) ECUACIONES LINEALES NO HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES
Una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes y término F(x) variable es de la forma
Esta ecuación se la puede resolver empleando los procesos antes mencionados para la ecuación homogénea de coeficientes constantes
Esta ecuación se la puede determinar empleando el llamado método de los coeficientes indeterminados.
Ejemplos:
Ejemplos:
Ejemplos:
Ejemplos ilustrativos
Hallar la solución general de
Solución:
Resolviendo la ecuación auxiliar
La solución particular debe satisfacer la ecuación no homogénea, es decir,
Como los dos polinomios son iguales, sus coeficientes deben ser iguales, entonces
Ecuaciones diferenciales de orden superior
5.1) ECUACIONES LINEALES DE ORDEN N
Una ecuación diferencial de orden superior que tiene la forma:
Principio de Superposición o linealidad
También es solución de dicha ecuación diferencial
Dependencia e Independencia lineal
En caso contrario, es decir, si alguna de las constantes no es nula, las funciones son linealmente dependientes.
Wronskiano
Es una función, cuyo nombre se debe al matemático polaco Josef Hoene-Wronski, especialmente importante en el estudio de las ecuaciones diferenciales.
Uno de los usos más importantes del Wronskiano en las ecuaciones diferenciales es el de verificar si un conjunto de soluciones es linealmente independiente o no.
Ejemplo ilustrativo
5.2) ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES
Una ecuación diferencial homogénea de orden superior tiene la forma:
Estas ecuaciones puede generar muchas combinaciones, sin embargo, se presentan tres casos que ayudarán en la resolución de las mismas.
1) Primer Caso: Múltiples raíces diferentes
2) Segundo Caso: Múltiples raíces iguales
3) Tercer Caso: Múltiples raíces iguales
Si todas las raíces de la ecuación diferencial homogénea son conjugadas complejas, es decir,
Ejemplos ilustrativos
2) Comprobar que
Solución
Remplazando valores en
Como se quería comprobar
3) Encontrar la ecuación diferencial cuya solución es:
Solución:
Se observa que
Entonces
5.3) ECUACIONES NO HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES
Una ecuación diferencial de orden superior que tiene la forma:
Esta ecuación se la puede resolver empleando los procesos antes mencionados para la ecuación homogénea de coeficientes constantes
Ejemplos
MAS EJERCICIOS
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