Verificar si la Funcion dada es solucion de la Ecuacion Diferencial

Verificar que las siguientes funciones (explícitas o implícitas) son soluciones de las correspondientes ecuaciones diferenciales.

Nota: para verificar que una función es la solución de una ecuación diferencial dada es menester hallar, dependiendo del orden de la ED, la primera, la segunda, etc. derivadas de la función (si la ED es de primer orden sólo es necesario hallar la primera derivada, si es de segundo orden hay que hallar tanto la primera como la segunda derivada de la función, etc.) luego sustituir en la ecuación diferencial estas funciones y constatar que se obtiene una identidad.

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Ecuaciones Exactas

Definición:

Sea la ecuación diferencial:

 Procedimiento

  Procedimiento:

 Ejemplo ilustrativo

  Ejemplo ilustrativo:

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Tablas

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Ecuaciones Diferenciales: separación de variables

Ecuaciones diferenciales de variables separables ejemplos resueltos en 3 pasos.

En esta ocasión desarrollo 6 ejemplos de ecuaciones diferenciales de variables separables, partiendo del caso base donde la ecuación se presenta en su forma estándar.

1.- La ecuación diferencial se escribe en la FORMA ESTÁNDAR propia de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden:

dydx=f(x,y)$\frac{dy}{dx}=f\left(x,y\right)$

Ejemplo:

dydx=3x2+4x+22(y−1)$\frac{dy}{dx}=\frac{3x^2+4x+2}{2\left(y-1\right)}$

Donde:

f(x,y)=3x2+4x+22(y−1)$f(x,y)=\frac{3x^2+4x+2}{2\left(y-1\right)}$

2.- SEPARAMOS LAS VARIABLES de acuerdo al criterio visto en el artículo: Cómo resolver una Ecuación Diferencial de primer orden separable

Mdx=Ndy$Mdx=Ndy$

Donde:

M=f(x)$M=f(x)$ y N=f(y)$N=f(y)$

3.- Por último, INTEGRAMOS ambos miembros de la ecuación mediante las fórmulas y técnicas conocidas de Cálculo integral

Pasos de mayor importancia para resolver Ecuaciones Diferenciales separables de primer orden

Ejemplo 1:

I. dydx=3x2+4x+22(y−1)$\frac{dy}{dx}=\frac{3x^2+4x+2}{2\left(y-1\right)}$

Pasos:

1.-  dydx=3x2+4x+22(y−1)$\frac{dy}{dx}=\frac{3x^2+4x+2}{2\left(y-1\right)}$

2.- 2(y−1)dy=(3x2+4x+2)dx$2\left(y-1\right)dy=\left(3x^2+4x+2\right)dx$

⇒2ydy−2dy=3x2dx+4xdx+2dx$\Rightarrow 2ydy-2dy=3x^{2}dx+4xdx+2dx$

3.-  ⇒2∫ydy–2∫dy=3∫x2dx+4∫xdx+2∫dx+C$\Rightarrow 2\int ydy–2\int dy=3\int x^{2}dx+4\int xdx+2\int dx+C$

⇒22y2−2y=33x3+42x2+2x+C$\Rightarrow \frac{2}{2}{y}^2-2y=\frac{3}{3}{x}^3+\frac{4}{2}{x}^2+2x+C$

Resultado:

⇒y2−2y=x3+2x2+2x+C$\Rightarrow y^2-2y=x^3+2x^2+2x+C$

Ejemplo 2:

II. dydx=ycosx1+2y2$\frac{dy}{dx}=\frac{y\cos x}{1+2y^2}$

Pasos:

1.-  dydx=ycosx1+2y2$\frac{dy}{dx}=\frac{y\cos x}{1+2y^2}$

2.-  (1+2y2)dy=ycosxdx$\left(1+2y^2\right)dy=y\cos xdx$

⇒(1+2y2)dyy=cosxdx$\Rightarrow \frac{\left(1+2y^2\right)dy}{y}=\cos xdx$

⇒1ydy+2ydy=cosxdx$\Rightarrow \frac{1}{y}dy+2ydy=\cos xdx$

3.-  ∫dyy+2∫ydy=cosxdx+C$\int \frac{dy}{y}+2\int ydy=\cos xdx+C$

⇒lny+22y2=sinx+C$\Rightarrow \ln y+\frac{2}{2}{y}^2=\sin x+C$

Resultado:

⇒lny+y2=sinx+C$\Rightarrow \ln y+y^2=\sin x+C$

Ejemplo 3:

III. dydx=x21−y2$\frac{dy}{dx}=\frac{x^2}{1-y^2}$

Pasos:

1.-  dydx=x21−y2$\frac{dy}{dx}=\frac{x^2}{1-y^2}$

2.-  (1−y2)dy=x2dx$\left(1-y^2\right)dy=x^{2}dx$

⇒dy−y2dy=x2dx$\Rightarrow dy-y^{2}dy=x^{2}dx$

3.-  ∫dy−∫y2dy=∫x2dx+C$\int dy-\int y^{2}dy=\int x^{2}dx+C$

Resultado:

y−13y3=13x3+C$y-\frac{1}{3}{y}^3=\frac{1}{3}{x}^3+C$

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